RPSC 2nd Grade GK: सांख्यिकी (Statistics)
Set-1: समांतर माध्य, माध्यिका और बहुलक (1 to 80)
प्रश्न 1: 'सांख्यिकी' (Statistics) शब्द की उत्पत्ति किस लैटिन शब्द से मानी जाती है?
* (अ) Status (स्टेटस)
* (ब) Statista
* (स) Statistik
* (द) उपरोक्त सभी
उत्तर: (अ)
व्याख्या: सांख्यिकी की उत्पत्ति लैटिन के 'Status', इटालियन के 'Statista' और जर्मन के 'Statistik' शब्द से हुई है।
प्रश्न 2: 'केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप' (Measures of Central Tendency) का मुख्य उद्देश्य क्या है?
* (अ) डेटा को फैलाना
* (ब) संपूर्ण समंक श्रेणी का प्रतिनिधित्व करने वाला एक मान ज्ञात करना (Representative Value)
* (स) केवल ग्राफ बनाना
* (द) अंतर ज्ञात करना
उत्तर: (ब)
व्याख्या: केन्द्रीय प्रवृत्ति वह मान है जिसके आसपास पूरी श्रेणी के पद केन्द्रित होते हैं। इसे 'औसत' भी कहते हैं।
प्रश्न 3: व्यक्तिगत श्रेणी में 'समांतर माध्य' (\bar{X}) निकालने का सही सूत्र क्या है?
* (अ) \bar{X} = \sum X / n
* (ब) \bar{X} = \sum fX / N
* (स) \bar{X} = (n+1)/2
* (द) \bar{X} = L + (h/f)(m-c)
उत्तर: (अ)
व्याख्या: समांतर माध्य पदों के योग में पदों की संख्या का भाग देकर निकाला जाता है।
प्रश्न 4: समांतर माध्य की गणना करते समय यदि श्रेणी के प्रत्येक पद में 5 जोड़ दिया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?
* (अ) अपरिवर्तित रहेगा
* (ब) 5 बढ़ जाएगा (Increase by 5)
* (स) 5 घट जाएगा
* (द) 5 गुना हो जाएगा
उत्तर: (ब)
व्याख्या: समांतर माध्य मूल बिंदु (Origin) के परिवर्तन से प्रभावित होता है।
प्रश्न 5: पदों के समांतर माध्य से लिए गए विचलनों (Deviations) का योग हमेशा कितना होता है?
* (अ) 1
* (ब) शून्य (Zero / \sum(X - \bar{X}) = 0)
* (स) धनात्मक
* (द) पदों की संख्या के बराबर
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह समांतर माध्य की सबसे महत्वपूर्ण गणितीय विशेषता है।
प्रश्न 6: 'प्रथम n प्राकृत संख्याओं' का समांतर माध्य निकालने का सूत्र क्या है?
* (अ) n(n+1)/2
* (ब) (n+1)/2
* (स) n^2
* (द) (2n+1)/2
उत्तर: (ब)
व्याख्या: प्राकृत संख्याओं का योग n(n+1)/2 होता है, इसे n से भाग देने पर (n+1)/2 बचता है।
प्रश्न 7: यदि किसी श्रेणी में कुछ पद बहुत बड़े या बहुत छोटे (Outliers) हों, तो सबसे अधिक प्रभावित कौन सा औसत होता है?
* (अ) माध्यिका
* (ब) समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
* (स) बहुलक
* (द) कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: समांतर माध्य श्रेणी के प्रत्येक पद पर आधारित होता है, इसलिए चरम मूल्यों का असर पड़ता है।
प्रश्न 8: माध्यिका (Median) किस प्रकार का औसत है?
* (अ) गणितीय औसत
* (ब) स्थिति संबंधी औसत (Positional Average)
* (स) व्यापारिक औसत
* (द) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: माध्यिका श्रेणी को दो बराबर भागों में बाँटती है।
प्रश्न 9: माध्यिका ज्ञात करने के लिए सबसे पहला अनिवार्य चरण क्या है?
* (अ) पदों को जोड़ना
* (ब) पदों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना (Ascending/Descending order)
* (स) बारम्बारता निकालना
* (द) वर्ग अंतराल बनाना
उत्तर: (ब)
व्याख्या: बिना क्रम में सजाए माध्यिका की गणना संभव नहीं है।
प्रश्न 10: यदि व्यक्तिगत श्रेणी में पदों की संख्या (n) विषम (Odd) हो, तो माध्यिका पद कौन सा होगा?
* (अ) n/2 वां पद
* (ब) ((n+1)/2) वां पद
* (स) (n+1)/4 वां पद
* (द) (n/2 + 1) वां पद
उत्तर: (ब)
व्याख्या: उदाहरण के लिए 7 पदों में, (7+1)/2 = 4 वां पद माध्यिका होगा।
प्रश्न 11: बहुलक (Mode) का अर्थ क्या है?
* (अ) मध्य का पद
* (ब) सबसे अधिक बार आने वाला पद (Value with maximum frequency)
* (स) औसत मान
* (द) सबसे छोटा पद
उत्तर: (ब)
व्याख्या: जिसकी आवृत्ति श्रेणी में सबसे अधिक होती है, वही बहुलक है।
प्रश्न 12: समांतर माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच आनुभविक संबंध का सूत्र क्या है?
* (अ) Mode = 3 Median - 2 Mean
* (ब) Mean = 3 Median - 2 Mode
* (स) Median = 3 Mode - 2 Mean
* (द) Mode = 2 Median - 3 Mean
उत्तर: (अ)
व्याख्या: इसे कार्ल पियर्सन का सूत्र भी कहते हैं।
प्रश्न 13: ग्राफ की सहायता से 'माध्यिका' का निर्धारण किसके माध्यम से किया जा सकता है?
* (अ) आयत चित्र (Histogram)
* (ब) ओजाइव वक्र / संचयी आवृत्ति वक्र (Ogive Curve)
* (स) पाई चार्ट
* (द) दंड आरेख
उत्तर: (ब)
व्याख्या: संचयी आवृत्ति वक्रों के कटान बिंदु से माध्यिका ज्ञात होती है।
प्रश्न 14: आयत चित्र (Histogram) की सहायता से किसका मान ज्ञात किया जा सकता है?
* (अ) समांतर माध्य
* (ब) बहुलक (Mode)
* (स) माध्यिका
* (द) प्रमाप विचलन
उत्तर: (ब)
व्याख्या: आयत चित्र का उच्चतम स्तंभ बहुलक वर्ग को दर्शाता है।
प्रश्न 15: वह माध्य जो गुणात्मक तथ्यों (जैसे बुद्धिमत्ता, सुंदरता) के मापन के लिए सबसे उपयुक्त है:
* (अ) समांतर माध्य
* (ब) माध्यिका (Median)
* (स) बहुलक
* (द) हरात्मक माध्य
उत्तर: (ब)
व्याख्या: गुणों को क्रम (Rank) दिया जा सकता है, इसलिए माध्यिका श्रेष्ठ है।
प्रश्न 16: समांतर माध्य से लिए गए विचलनों के 'वर्गों' का योग क्या होता है?
* (अ) शून्य
* (ब) न्यूनतम (Minimum / \sum(X - \bar{X})^2 is min)
* (स) अधिकतम
* (द) अनंत
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह समांतर माध्य की एक प्रमुख विशेषता है।
प्रश्न 17: यदि एक श्रेणी का समांतर माध्य 10 और माध्यिका 12 है, तो बहुलक क्या होगा?
* (अ) 14
* (ब) 16 (Mode = 3 \times 12 - 2 \times 10 = 36 - 20 = 16)
* (स) 11
* (द) 20
उत्तर: (ब)
व्याख्या: सूत्र 3 Median - 2 Mean का प्रयोग।
प्रश्न 18: 'बहुलक' की गणना किस श्रेणी में संभव नहीं है यदि दो मानों की आवृत्ति समान और अधिकतम हो?
* (अ) एक-बहुलकीय
* (ब) द्वि-बहुलकीय (Bi-modal)
* (स) सरल श्रेणी
* (द) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: ऐसी स्थिति में बहुलक 'अस्पष्ट' हो जाता है।
प्रश्न 19: समांतर माध्य का सबसे बड़ा दोष क्या है?
* (अ) गणना कठिन है
* (ब) चरम मूल्यों से अत्यधिक प्रभावित होना (Affected by extreme values)
* (स) ग्राफ से नहीं निकलता
* (द) सभी पदों पर आधारित नहीं है
उत्तर: (ब)
व्याख्या: एक बहुत बड़ा पद औसत को बहुत ऊपर खींच लेता है।
प्रश्न 20: सतत श्रेणी (Continuous Series) में माध्यिका वर्ग चुनने के लिए किसका प्रयोग किया जाता है?
* (अ) (n+1)/2
* (ब) n/2 वां पद (Size of n/2 th item in C.F.)
* (स) n/4 वां पद
* (द) सबसे बड़ी बारम्बारता
उत्तर: (ब)
व्याख्या: n/2 को संचयी आवृत्ति में देखा जाता है।
प्रश्न 21: माध्यिका से लिए गए विचलनों का 'निरपेक्ष योग' (\sum|X - Median|) क्या होता है?
* (अ) शून्य
* (ब) न्यूनतम (Minimum)
* (स) अधिकतम
* (द) 1
उत्तर: (ब)
व्याख्या: चिन्ह छोड़कर विचलनों का योग माध्यिका से कम आता है।
प्रश्न 22: 'बहुलक' का सबसे व्यावहारिक उपयोग कहाँ होता है?
* (अ) औसत ऊंचाई
* (ब) जूतों और रेडीमेड कपड़ों के आकार में (Commercial sizing)
* (स) परीक्षा के अंक
* (द) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: जो साइज सबसे ज्यादा बिकता है, वही बहुलक है।
प्रश्न 23: समांतर माध्य के संबंध में 'भारित माध्य' (Weighted Mean) का उपयोग कब होता है?
* (अ) जब सभी पद समान हों
* (ब) जब विभिन्न पदों का महत्व अलग-अलग हो (Unequal importance)
* (स) केवल व्यक्तिगत श्रेणी में
* (द) कभी नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: जैसे भोजन और शिक्षा को अलग-अलग महत्व देना।
प्रश्न 24: \bar{X} = A + \sum fd / n सूत्र में 'A' क्या है?
* (अ) वास्तविक माध्य
* (ब) कल्पित माध्य (Assumed Mean)
* (स) आवृत्ति
* (द) वर्ग अंतराल
उत्तर: (ब)
व्याख्या: गणना सरल करने के लिए माना गया माध्य।
प्रश्न 25: किसी श्रेणी में 'खुले सिरे वाले वर्ग' (Open-end Classes) होने पर सबसे उपयुक्त औसत है:
* (अ) समांतर माध्य
* (ब) माध्यिका (Median)
* (स) बहुलक
* (द) उपरोक्त सभी
उत्तर: (ब)
व्याख्या: खुले सिरों में माध्यिका अप्रभावित रहती है।
प्रश्न 26: माध्यिका की गणना में यदि पदों की संख्या 'सम' (Even) हो, तो:
* (अ) (n+1)/2 वां पद
* (ब) मध्य के दो पदों का औसत (Average of two middle items)
* (स) केवल बड़ा पद
* (द) कोई भी पद
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यदि 4 पद हैं, तो दूसरे और तीसरे पद का औसत।
प्रश्न 27: सामान्य बंटन (Symmetrical Distribution) में:
* (अ) Mean > Median > Mode
* (ब) Mean = Median = Mode
* (स) Mean < Median < Mode
* (द) कोई संबंध नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: घंटीनुमा वक्र में तीनों बराबर होते हैं।
प्रश्न 28: यदि वितरण का वक्र 'दाईं ओर झुका' (Positively Skewed) हो:
* (अ) Mean > Median > Mode
* (ब) Mode > Median > Mean
* (स) Mean = Mode
* (द) कोई नहीं
उत्तर: (अ)
व्याख्या: धनात्मक विषमता में माध्य सबसे बड़ा होता है।
प्रश्न 29: 'पद विचलन विधि' (Step-Deviation Method) का उपयोग क्यों होता है?
* (अ) शुद्धता के लिए
* (ब) गणना को संक्षिप्त करने के लिए (To simplify calculations)
* (स) चित्र बनाने के लिए
* (द) विचलन बढ़ाने के लिए
उत्तर: (ब)
व्याख्या: वर्ग अंतराल से भाग देकर संख्याएं छोटी की जाती हैं।
प्रश्न 30: श्रेणी के सभी पदों पर आधारित माप कौन सा है?
* (अ) बहुलक
* (ब) समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
* (स) माध्यिका
* (द) भूयिष्ठक
उत्तर: (ब)
व्याख्या: माध्य की गणना के लिए हर एक पद अनिवार्य है।
प्रश्न 31: 'सामूहिक समांतर माध्य' (Combined Mean) का सूत्र है:
* (अ) (\bar{X}_1 + \bar{X}_2) / 2
* (ब) (N_1\bar{X}_1 + N_2\bar{X}_2) / (N_1 + N_2)
* (स) N_1\bar{X}_1 - N_2\bar{X}_2
* (द) \sum fX / N
उत्तर: (ब)
व्याख्या: दो समूहों का संयुक्त औसत निकालने हेतु।
प्रश्न 32: 'संचयी आवृत्ति' (Cumulative Frequency) की आवश्यकता किसमें होती है?
* (अ) समांतर माध्य
* (ब) माध्यिका (Median)
* (स) बहुलक
* (द) भारित माध्य
उत्तर: (ब)
व्याख्या: श्रेणी को आधा करने के लिए C.F. जरूरी है।
प्रश्न 33: बहुलक की 'निरीक्षण विधि' (Inspection) कब फेल होती है?
* (अ) नियमित श्रेणी में
* (ब) जब अधिकतम आवृत्ति अंत में हो (Maximum frequency at endpoints)
* (स) जब एक ही पद बार-बार आए
* (द) अंतराल समान हो
उत्तर: (ब)
व्याख्या: ऐसी स्थिति में समूहण विधि काम आती है।
प्रश्न 34: 'बहुलक' (Mode) के बारे में सत्य कथन है:
* (अ) हमेशा मध्य में होता है
* (ब) चरम मूल्यों से अप्रभावित रहता है (Unaffected by extreme values)
* (स) सभी पदों पर आधारित है
* (द) गणना हमेशा संभव है
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह केवल आवृत्ति देखता है, पदों के मान नहीं।
प्रश्न 35: यदि पद 5, 5, 5, 5 हैं, तो समांतर माध्य क्या होगा?
* (अ) 20
* (ब) 5 (The constant itself)
* (स) 0
* (द) 10
उत्तर: (ब)
व्याख्या: समान पदों का माध्य वही पद होता है।
प्रश्न 36: समांतर माध्य के विचलनों के योग का शून्य होना दर्शाता है:
* (अ) श्रेणी का संतुलन (Balance/Center of Gravity)
* (ब) विषमता
* (स) बिखराव
* (द) अशुद्धि
उत्तर: (अ)
व्याख्या: माध्य श्रेणी का 'गुरुत्व केंद्र' है।
प्रश्न 37: ओजाइव (Ogive) वक्र में Y-अक्ष पर क्या दिखाया जाता है?
* (अ) वर्ग सीमाएं
* (ब) संचयी आवृत्ति (Cumulative Frequency)
* (स) माध्य
* (द) पद मूल्य
उत्तर: (ब)
व्याख्या: X-अक्ष पर मूल्य और Y-अक्ष पर C.F. होती है।
प्रश्न 38: बहुलक को किस चिन्ह से प्रदर्शित किया जाता है?
* (अ) M
* (ब) Z (Mode is denoted by Z)
* (स) \bar{X}
* (द) \sigma
उत्तर: (ब)
व्याख्या: M माध्यिका और \bar{X} माध्य के लिए है।
प्रश्न 39: बहुलक सूत्र में f_1 क्या दर्शाता है?
* (अ) पूर्व आवृत्ति
* (ब) बहुलक वर्ग की आवृत्ति (Frequency of the modal class)
* (स) अगली आवृत्ति
* (द) संचयी आवृत्ति
उत्तर: (ब)
व्याख्या: सबसे बड़ी आवृत्ति को f_1 कहते हैं।
प्रश्न 40: ऋणात्मक विषमता (Negatively Skewed) में सही क्रम है:
* (अ) Mean < Median < Mode
* (ब) Mean > Median > Mode
* (स) Mean = Median
* (द) कोई नहीं
उत्तर: (अ)
व्याख्या: इसमें बहुलक सबसे बड़ा होता है।
[Image showing Positively Skewed, Symmetrical, and Negatively Skewed distributions and the relative positions of Mean, Median, and Mode]
प्रश्न 41: 'हरात्मक माध्य' (Harmonic Mean) का उपयोग मुख्य रूप से कहाँ होता है?
* (अ) ऊंचाई मापने में
* (ब) गति, समय और दर के औसत में (Averages of speed, time, and rates)
* (स) जनसंख्या वृद्धि में
* (द) लाभ गणना में
उत्तर: (ब)
व्याख्या: स्थिर दूरी के लिए औसत चाल निकालने में यह सबसे सटीक है।
प्रश्न 42: समांतर माध्य 'पैमाने' (Scale) के परिवर्तन से:
* (अ) प्रभावित नहीं होता
* (ब) प्रभावित होता है (Affected by Scale/Multiplication)
* (स) शून्य हो जाता है
* (द) आधा हो जाता है
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यदि हर पद को 2 से गुणा करें, तो माध्य भी 2 गुना हो जाएगा।
प्रश्न 43: माध्यिका श्रेणी को कितने भागों में बांटती है?
* (अ) 4
* (ब) 2 (Two equal parts)
* (स) 10
* (द) 100
उत्तर: (ब)
व्याख्या: 50% पद इसके नीचे और 50% इसके ऊपर होते हैं।
प्रश्न 44: 'चतुर्थक' (Quartiles) श्रेणी को कितने बराबर भागों में बांटते हैं?
* (अ) 2
* (ब) 4 (Four equal parts)
* (स) 3
* (द) 5
उत्तर: (ब)
व्याख्या: चतुर्थक तीन होते हैं (Q_1, Q_2, Q_3), लेकिन भाग चार होते हैं।
प्रश्न 45: द्वितीय चतुर्थक (Q_2) किसके बराबर होता है?
* (अ) प्रथम चतुर्थक
* (ब) माध्यिका (Median)
* (स) बहुलक
* (द) समांतर माध्य
उत्तर: (ब)
व्याख्या: Q_2 श्रेणी को 50% पर काटता है, जो कि माध्यिका ही है।
प्रश्न 46: संचयी आवृत्ति वक्र (Ogive) कितने प्रकार के होते हैं?
* (अ) 1
* (ब) 2 ('Less than' and 'More than')
* (स) 3
* (द) 4
उत्तर: (ब)
व्याख्या: 'से कम' और 'से अधिक' प्रकार के।
प्रश्न 47: ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean) का उपयोग कहाँ श्रेष्ठ है?
* (अ) जूतों के आकार में
* (ब) अनुपातों और प्रतिशत वृद्धि की दर मापने में (Rates of growth/ratios)
* (स) गति मापने में
* (द) मजदूरी गणना में
उत्तर: (ब)
व्याख्या: चक्रवर्ती ब्याज या जनसंख्या वृद्धि दर के लिए यह उत्तम है।
प्रश्न 48: किसी वितरण में यदि बहुलक = 30 और माध्य = 30 हो, तो माध्यिका क्या होगी?
* (अ) 20
* (ब) 30 (All three will be equal in symmetric distribution)
* (स) 40
* (द) 60
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यदि दो बराबर हैं, तो तीसरा भी उनके बराबर ही होगा (समतुल्य वितरण)।
प्रश्न 49: 'मध्यिका' (Median) किस ग्राफ से ज्ञात नहीं की जा सकती?
* (अ) ओजाइव
* (ब) आयत चित्र (Histogram)
* (स) संचयी आवृत्ति रेखा
* (द) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: आयत चित्र से केवल बहुलक (Mode) ज्ञात किया जा सकता है।
प्रश्न 50: बहुलक के लिए समूहण विधि (Grouping) में कितनी कॉलम वाली तालिका बनती है?
* (अ) 4
* (ब) 6 (Six columns in the grouping table)
* (स) 10
* (द) 2
उत्तर: (ब)
व्याख्या: आवृत्तियों के विभिन्न संयोजनों के लिए 6 कॉलम बनाए जाते हैं।
प्रश्न 51: समांतर माध्य की 'बीजीय विवेचना' (Algebraic Treatment):
* (अ) संभव नहीं है
* (ब) संभव है (Possible to calculate missing values/combined mean)
* (स) केवल जटिल है
* (द) अमान्य है
उत्तर: (ब)
व्याख्या: माध्य का गणितीय उपयोग अन्य सांख्यिकीय गणनाओं में किया जा सकता है।
प्रश्न 52: माध्यिका की बीजीय विवेचना:
* (अ) संभव है
* (ब) संभव नहीं है (Not suitable for further algebraic treatment)
* (स) सरल है
* (द) अनिवार्य है
उत्तर: (ब)
व्याख्या: माध्यिका का आगे गणितीय क्रियाओं में उपयोग सीमित है।
प्रश्न 53: वह माप जो 'अत्यंत छोटे' पदों को अधिक महत्व देता है:
* (अ) समांतर माध्य
* (ब) हरात्मक माध्य (Harmonic Mean)
* (स) ज्यामितीय माध्य
* (द) बहुलक
उत्तर: (ब)
व्याख्या: चूँकि यह पदों के व्युत्क्रम (Reciprocal) पर आधारित है।
प्रश्न 54: प्रथम चतुर्थक (Q_1) को क्या कहा जाता है?
* (अ) उच्च चतुर्थक
* (ब) निम्न चतुर्थक (Lower Quartile)
* (स) माध्यिका
* (द) पंचमक
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह श्रेणी के शुरुआती 25% हिस्से को दर्शाता है।
प्रश्न 55: तृतीय चतुर्थक (Q_3) को क्या कहा जाता है?
* (अ) निम्न चतुर्थक
* (ब) उच्च चतुर्थक (Upper Quartile)
* (स) औसत
* (द) बहुलक
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह 75% हिस्से को कवर करता है।
प्रश्न 56: 'दशमक' (Deciles) श्रेणी को कितने भागों में बांटते हैं?
* (अ) 4
* (ब) 10 (Ten equal parts)
* (स) 100
* (द) 2
उत्तर: (ब)
व्याख्या: इनकी संख्या 9 होती है (D_1 से D_9)।
प्रश्न 57: 'शतमक' (Percentiles) श्रेणी को कितने भागों में बांटते हैं?
* (अ) 10
* (ब) 100 (Hundred equal parts)
* (स) 99
* (द) 4
उत्तर: (ब)
व्याख्या: P_{50} माध्यिका के बराबर होता है।
प्रश्न 58: निम्नलिखित में से कौन सा 'गणितीय औसत' नहीं है?
* (अ) समांतर माध्य
* (ब) माध्यिका (Median - Positional)
* (स) ज्यामितीय माध्य
* (द) हरात्मक माध्य
उत्तर: (ब)
व्याख्या: माध्यिका और बहुलक स्थिति संबंधी माप हैं।
प्रश्न 59: बहुलक की गणना के लिए वर्ग अंतराल (Class Interval) कैसा होना चाहिए?
* (अ) समान (Uniform intervals are ideal)
* (ब) असमान
* (स) शून्य
* (द) कोई भी
उत्तर: (अ)
व्याख्या: असमान अंतराल होने पर उन्हें पहले समान करना पड़ता है या घनत्व विधि अपनानी पड़ती है।
प्रश्न 60: 'भूयिष्ठक' (Mode) शब्द किस भाषा से आया है?
* (अ) अंग्रेजी
* (ब) फ्रेंच (From 'La Mode')
* (स) लैटिन
* (द) संस्कृत
उत्तर: (ब)
व्याख्या: फ्रेंच में 'Mode' का अर्थ है 'फैशन'।
प्रश्न 61: एक अच्छे औसत का गुण क्या है?
* (अ) गणना में सरल
* (ब) स्पष्ट परिभाषा
* (स) सभी पदों पर आधारित
* (द) उपरोक्त सभी (All of the above)
उत्तर: (द)
व्याख्या: ये सभी एक आदर्श औसत की विशेषताएं हैं।
प्रश्न 62: यदि किसी वितरण में माध्य < माध्यिका < बहुलक है, तो विषमता कैसी होगी?
* (अ) धनात्मक
* (ब) ऋणात्मक (Negative Skewness)
* (स) शून्य
* (द) अनंत
उत्तर: (ब)
व्याख्या: इसमें पूँछ बाईं ओर लंबी होती है।
प्रश्न 63: समांतर माध्य से लिए गए विचलनों का योग \sum(X - \bar{X}) = 0 है। यदि यहाँ \bar{X} की जगह कोई और मान लें, तो योग क्या होगा?
* (अ) हमेशा 0
* (ब) शून्य नहीं होगा (Will not be zero)
* (स) ऋणात्मक ही होगा
* (द) धनात्मक ही होगा
उत्तर: (ब)
व्याख्या: केवल वास्तविक माध्य से ही योग शून्य आता है।
प्रश्न 64: सतत श्रेणी में माध्यिका सूत्र L_1 + \frac{n/2 - cf}{f} \times i में 'cf' क्या है?
* (अ) माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
* (ब) माध्यिका वर्ग से ठीक पूर्व वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति (Preceding cumulative frequency)
* (स) कुल आवृत्ति
* (द) अगली आवृत्ति
उत्तर: (ब)
व्याख्या: संचयी आवृत्ति हमेशा पिछले वर्ग की ली जाती है।
प्रश्न 65: यदि किसी श्रेणी में 'शून्य' पद हो, तो किसकी गणना संभव नहीं है?
* (अ) समांतर माध्य
* (ब) ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean becomes zero)
* (स) माध्यिका
* (द) बहुलक
उत्तर: (ब)
व्याख्या: सभी पदों का गुणा करने पर परिणाम शून्य हो जाएगा।
प्रश्न 66: यदि किसी श्रेणी में 'ऋणात्मक' मान हो, तो किसकी गणना कठिन/असंभव है?
* (अ) समांतर माध्य
* (ब) ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean - roots of negative numbers)
* (स) बहुलक
* (द) माध्यिका
उत्तर: (ब)
व्याख्या: ऋणात्मक संख्याओं के लॉग या वर्गमूल निकालना जटिल होता है।
प्रश्न 67: 'खुले सिरे वाले वर्ग' का अर्थ है:
* (अ) प्रथम वर्ग की निम्न सीमा या अंतिम की उच्च सीमा गायब होना (Boundary missing)
* (ब) बीच का वर्ग गायब होना
* (स) अंतराल शून्य होना
* (द) आवृत्ति शून्य होना
उत्तर: (अ)
व्याख्या: जैसे "Less than 10" या "Above 100"।
प्रश्न 68: 'औसत' को सांख्यिकी में क्या कहा जाता है?
* (अ) प्रथम श्रेणी का माप (Measure of First Order)
* (ब) द्वितीय श्रेणी का माप
* (स) तृतीय श्रेणी का माप
* (द) शून्य श्रेणी का माप
उत्तर: (अ)
व्याख्या: अपकिरण (Dispersion) को द्वितीय श्रेणी का माप कहते हैं।
प्रश्न 70: 'समांतर माध्य' के विचलनों में चिन्हों (+ या -) को नजरअंदाज किसमें किया जाता है?
* (अ) प्रमाप विचलन
* (ब) माध्य विचलन (Mean Deviation)
* (स) सह-संबंध
* (द) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: माध्य विचलन में केवल निरपेक्ष मान |d| लिए जाते हैं।
प्रश्न 71: यदि समांतर माध्य = 15 और बहुलक = 12 हो, तो माध्यिका क्या होगी?
* (अ) 13
* (ब) 14 (12 = 3M - 2 \times 15 \rightarrow 12+30 = 3M \rightarrow M=14)
* (स) 15
* (द) 16
उत्तर: (ब)
व्याख्या: Z = 3M - 2 \bar{X} सूत्र से।
प्रश्न 72: आयत चित्र (Histogram) में 'क्षेत्रफल' किसके समानुपाती होता है?
* (अ) वर्ग सीमा के
* (ब) वर्ग की आवृत्ति के (Proportional to the frequency)
* (स) माध्य के
* (द) बहुलक के
उत्तर: (ब)
व्याख्या: स्तंभ का क्षेत्रफल डेटा की आवृत्ति को दर्शाता है।
प्रश्न 73: संचयी आवृत्ति वक्रों के कटान बिंदु से X-अक्ष पर गिरने वाला लम्ब क्या दर्शाता है?
* (अ) माध्य
* (ब) माध्यिका (Median)
* (स) बहुलक
* (द) विचलन
उत्तर: (ब)
व्याख्या: जहाँ 'से कम' और 'से अधिक' ओजाइव मिलते हैं।
प्रश्न 74: सांख्यिकी का जनक (Father of Statistics) किसे माना जाता है?
* (अ) एडम स्मिथ
* (ब) गॉटफ्रायड आचेनवाल (Gottfried Achenwall)
* (स) पी.सी. महालनोबिस
* (द) फिशर
उत्तर: (ब)
व्याख्या: इन्होंने सबसे पहले 'Statistics' शब्द का प्रयोग किया था।
प्रश्न 75: भारतीय सांख्यिकी का जनक (Father of Indian Statistics) किसे माना जाता है?
* (अ) दादाभाई नौरोजी
* (ब) पी.सी. महालनोबिस (P.C. Mahalanobis)
* (स) डॉ. वी.के.आर.वी. राव
* (द) एम. विश्वेश्वरैया
उत्तर: (ब)
व्याख्या: उन्हीं की याद में 29 जून को सांख्यिकी दिवस मनाया जाता है।
प्रश्न 76: 'माध्यिका' चरम मूल्यों से:
* (अ) बहुत अधिक प्रभावित होती है
* (ब) न्यूनतम प्रभावित होती है (Least affected by extremes)
* (स) शून्य हो जाती है
* (द) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह केवल 'बीच' के पद को देखती है, किनारों के पदों के मान को नहीं।
प्रश्न 77: वह माप जिसे श्रेणी को बिना व्यवस्थित किए नहीं निकाला जा सकता:
* (अ) माध्य
* (ब) माध्यिका (Median)
* (स) भारित माध्य
* (द) सामूहिक माध्य
उत्तर: (ब)
व्याख्या: क्रम (Ordering) अनिवार्य है।
प्रश्न 78: 'बहु-बहुलकीय' (Multimodal) श्रेणी में बहुलक निर्धारण का श्रेष्ठ तरीका है:
* (अ) निरीक्षण
* (ब) आनुभविक संबंध सूत्र (3 Median - 2 Mean)
* (स) ग्राफ
* (द) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: जब आवृत्ति तालिका स्पष्ट न हो, तो माध्य और माध्यिका की मदद ली जाती है।
प्रश्न 79: समांतर माध्य का उपयोग कहाँ नहीं करना चाहिए?
* (अ) अंकों के औसत में
* (ब) खुले सिरे वाली श्रेणियों में (Open-ended series)
* (स) वेतन गणना में
* (द) उत्पादन गणना में
उत्तर: (ब)
व्याख्या: क्योंकि निम्न या उच्च सीमा के बिना कुल योग नहीं निकल सकता।
प्रश्न 80: 'द राजस्थान एस्पिरेंट' के लिए अंतिम प्रश्न: सांख्यिकी में 'N' का क्या अर्थ है?
* (अ) पदों की कुल संख्या (Total number of observations)
* (ब) नया माध्य
* (स) नकारात्मक मान
* (द) केवल 100
उत्तर: (अ)
व्याख्या: व्यक्तिगत श्रेणी में n पदों की संख्या है और सतत श्रेणी में आवृत्तियों का योग N है।
Set-2: अपकिरण के माप (Measures of Dispersion) (1 to 80)
प्रश्न 1: 'अपकिरण' (Dispersion) का शाब्दिक अर्थ क्या है?
* (अ) पदों का योग
* (ब) पदों के मानों का बिखराव या फैलाव (Scatteredness of data)
* (स) केवल मध्य का पद
* (द) पदों की संख्या
उत्तर: (ब)
व्याख्या: अपकिरण यह मापता है कि श्रेणी के पद अपने 'औसत' (Mean) से कितनी दूरी पर फैले हुए हैं। इसे 'द्वितीय श्रेणी का माप' भी कहते हैं।
प्रश्न 2: अपकिरण के 'निरपेक्ष माप' (Absolute Measures) और 'सापेक्ष माप' (Relative Measures) में मुख्य अंतर क्या है?
* (अ) कोई अंतर नहीं है
* (ब) निरपेक्ष माप मूल इकाई (जैसे ₹, kg) में होते हैं, जबकि सापेक्ष माप इकाई-रहित (अनुपात या %) होते हैं
* (स) सापेक्ष माप हमेशा शून्य होते हैं
* (द) निरपेक्ष माप केवल ग्राफ से निकलते हैं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: तुलना करने के लिए हमेशा सापेक्ष मापों (Coefficients) का उपयोग किया जाता है।
प्रश्न 3: 'विस्तार' (Range) ज्ञात करने का सबसे सरल सूत्र क्या है?
* (अ) L + S
* (ब) L - S (Largest value - Smallest value)
* (स) L \times S
* (द) L / S
उत्तर: (ब)
व्याख्या: श्रेणी के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के अंतर को ही विस्तार (Range) कहते हैं। यह अपकिरण का सबसे कच्चा माप है।
प्रश्न 4: विस्तार गुणांक (Coefficient of Range) का सूत्र क्या है?
* (अ) \frac{L-S}{L+S}
* (ब) \frac{L+S}{L-S}
* (स) L - S
* (द) \frac{L-S}{Mean}
उत्तर: (अ)
व्याख्या: यह विस्तार का सापेक्ष माप है, जो दो श्रेणियों की तुलना करने के काम आता है।
प्रश्न 5: 'अन्तर-चतुर्थक विस्तार' (Inter-Quartile Range) का सूत्र क्या है?
* (अ) Q_3 - Q_1
* (ब) Q_3 + Q_1
* (स) \frac{Q_3 - Q_1}{2}
* (द) Q_2 - Q_1
उत्तर: (अ)
व्याख्या: यह मध्य के 50% पदों के फैलाव को दर्शाता है।
प्रश्न 6: 'चतुर्थक विचलन' (Quartile Deviation / Q.D.) को अन्य किस नाम से जाना जाता है?
* (अ) माध्य विचलन
* (ब) अर्ध-अन्तर चतुर्थक विस्तार (Semi-Inter Quartile Range)
* (स) प्रमाप विचलन
* (द) विस्तार
उत्तर: (ब)
व्याख्या: Q.D. = \frac{Q_3 - Q_1}{2} होता है, इसलिए इसे 'अर्ध' विस्तार कहते हैं।
प्रश्न 7: चतुर्थक विचलन गुणांक (Coefficient of Q.D.) का सही सूत्र क्या है?
* (अ) \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}
* (ब) \frac{Q_3 + Q_1}{Q_3 - Q_1}
* (स) \frac{Q.D.}{Mean}
* (द) \frac{Q.D.}{Median}
उत्तर: (अ)
व्याख्या: यह तुलनात्मक अध्ययन के लिए उपयोग किया जाता है।
प्रश्न 8: 'माध्य विचलन' (Mean Deviation) की गणना किस औसत से की जा सकती है?
* (अ) केवल समांतर माध्य
* (ब) केवल माध्यिका
* (स) समांतर माध्य, माध्यिका या बहुलक किसी से भी (From Mean, Median or Mode)
* (द) केवल बहुलक
उत्तर: (स)
व्याख्या: व्यवहार में माध्य विचलन की गणना अक्सर 'माध्यिका' से की जाती है क्योंकि विचलनों का योग वहां न्यूनतम होता है।
प्रश्न 9: माध्य विचलन निकालते समय 'चिन्हों' (+ या -) का क्या किया जाता है?
* (अ) उन्हें ध्यान में रखा जाता है
* (ब) उन्हें नजरअंदाज कर दिया जाता है (Signs are ignored: |d|)
* (स) उन्हें गुणा किया जाता है
* (द) वे हमेशा धनात्मक होते हैं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: माध्य विचलन में केवल निरपेक्ष विचलनों (|d|) का योग किया जाता है।
प्रश्न 10: समांतर माध्य से लिए गए माध्य विचलन (M.D._{\bar{x}}) का गुणांक क्या होगा?
* (अ) \frac{M.D.}{\bar{x}}
* (ब) \frac{M.D.}{M}
* (स) \frac{M.D.}{Z}
* (द) \frac{M.D.}{\sigma}
उत्तर: (अ)
व्याख्या: विचलन जिस औसत से लिया गया है, गुणांक निकालते समय उसी का भाग दिया जाता है।
प्रश्न 11: 'प्रमाप विचलन' (Standard Deviation / \sigma) का प्रतिपादन किसने किया था?
* (अ) एडम स्मिथ
* (ब) कार्ल पियर्सन (Karl Pearson - 1893)
* (स) बाउले
* (द) फिशर
उत्तर: (ब)
व्याख्या: कार्ल पियर्सन ने इसे अपकिरण का सबसे वैज्ञानिक और श्रेष्ठ माप बताया।
प्रश्न 12: प्रमाप विचलन की गणना हमेशा किस औसत से की जाती है?
* (अ) केवल माध्यिका
* (ब) केवल समांतर माध्य (Only from Arithmetic Mean)
* (स) बहुलक
* (द) किसी से भी
उत्तर: (ब)
व्याख्या: प्रमाप विचलन की यह विशेषता है कि यह हमेशा समांतर माध्य से ही निकाला जाता है।
प्रश्न 13: प्रमाप विचलन में विचलनों के साथ क्या क्रिया की जाती है जिससे चिन्हों का झंझट खत्म हो जाए?
* (अ) विचलनों का वर्ग किया जाता है (Squares of deviations: d^2)
* (ब) विचलनों को जोड़ा जाता है
* (स) विचलनों को छोड़ दिया जाता है
* (द) विचलनों का लॉग लिया जाता है
उत्तर: (अ)
व्याख्या: चूंकि ऋण संख्या का वर्ग भी धनात्मक होता है, इसलिए इसमें गणितीय शुद्धता बनी रहती है।
प्रश्न 14: 'प्रसरण' (Variance) और 'प्रमाप विचलन' (\sigma) में क्या संबंध है?
* (अ) Variance = \sigma
* (ब) Variance = \sigma^2 (Square of Standard Deviation)
* (स) Variance = \sqrt{\sigma}
* (द) कोई संबंध नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: प्रमाप विचलन के वर्ग को ही प्रसरण (Variance) कहा जाता है।
प्रश्न 15: व्यक्तिगत श्रेणी में प्रमाप विचलन का सही सूत्र क्या है?
* (अ) \sqrt{\frac{\sum d^2}{n}}
* (ब) \frac{\sum d^2}{n}
* (स) \sqrt{\frac{\sum |d|}{n}}
* (द) \frac{\sum f d^2}{N}
उत्तर: (अ)
व्याख्या: यह विचलनों के वर्गों के माध्य का वर्गमूल है।
प्रश्न 16: 'विचरण गुणांक' (Coefficient of Variation / C.V.) का सूत्र क्या है?
* (अ) \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100
* (ब) \frac{\bar{x}}{\sigma} \times 100
* (स) \frac{M.D.}{\bar{x}}
* (द) \sigma^2
उत्तर: (अ)
व्याख्या: इसे कार्ल पियर्सन ने दिया था। यह दो श्रेणियों की 'स्थिरता' (Stability) की तुलना करने का सबसे अच्छा माप है।
प्रश्न 17: यदि दो श्रेणियों में से एक का C.V. कम है, तो वह श्रेणी कैसी मानी जाएगी?
* (अ) कम स्थिर
* (ब) अधिक स्थिर और सुसंगत (More stable and consistent)
* (स) बहुत बिखरी हुई
* (द) शून्य
उत्तर: (ब)
व्याख्या: C.V. जितना कम होगा, डेटा उतना ही सुसंगत (Consistent) माना जाता है।
प्रश्न 18: 'विस्तार' (Range) श्रेणी के किन मूल्यों पर आधारित होता है?
* (अ) सभी मूल्यों पर
* (ब) केवल दो चरम मूल्यों पर (Only on two extreme values)
* (स) मध्य के मूल्यों पर
* (द) केवल आवृत्तियों पर
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यही इसका सबसे बड़ा दोष है—यह पूरी श्रेणी का प्रतिनिधित्व नहीं करता।
प्रश्न 19: चतुर्थक विचलन (Q.D.) श्रेणी के कितने प्रतिशत भाग पर आधारित होता है?
* (अ) 100%
* (ब) मध्य के 50% भाग पर (Middle 50% of the data)
* (स) प्रथम 25%
* (द) अंतिम 25%
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह Q_1 और Q_3 के बीच के अंतर को मापता है।
प्रश्न 20: प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution) में Q.D., M.D. और \sigma के बीच क्या अनुपात होता है?
* (अ) 10 : 12 : 15 (Q.D. : M.D. : \sigma = 10 : 12 : 15)
* (ब) 1 : 1 : 1
* (स) 2 : 3 : 4
* (द) 5 : 8 : 10
उत्तर: (अ)
व्याख्या: यह एक स्थिर गणितीय अनुपात है जो अक्सर परीक्षाओं में पूछा जाता है।
प्रश्न 21: माध्य विचलन (M.D.) की तुलना में प्रमाप विचलन (\sigma) को श्रेष्ठ क्यों माना जाता है?
* (अ) क्योंकि यह गणना में सरल है
* (ब) क्योंकि यह बीजगणितीय विवेचना के योग्य है और इसमें चिन्हों की उपेक्षा नहीं की जाती
* (स) क्योंकि यह केवल दो पदों पर आधारित है
* (द) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: प्रमाप विचलन में गणितीय शुद्धता अधिक होती है क्योंकि इसमें विचलनों का वर्ग किया जाता है।
प्रश्न 22: यदि श्रेणी के प्रत्येक पद को 2 से गुणा कर दिया जाए, तो प्रमाप विचलन पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
* (अ) अपरिवर्तित रहेगा
* (ब) 2 गुना हो जाएगा (Will be doubled)
* (स) 4 गुना हो जाएगा
* (द) आधा हो जाएगा
उत्तर: (ब)
व्याख्या: प्रमाप विचलन 'पैमाने' (Scale) के परिवर्तन से प्रभावित होता है।
प्रश्न 23: यदि श्रेणी के प्रत्येक पद में 10 जोड़ दिया जाए, तो प्रमाप विचलन पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
* (अ) 10 बढ़ जाएगा
* (ब) अपरिवर्तित रहेगा (Remains Unchanged)
* (स) 10 कम हो जाएगा
* (द) शून्य हो जाएगा
उत्तर: (ब)
व्याख्या: प्रमाप विचलन 'मूल बिंदु' (Origin) के परिवर्तन (जोड़-घटाव) से स्वतंत्र होता है।
प्रश्न 24: 'विचरण गुणांक' (C.V.) की गणना करने के लिए किस औसत का प्रयोग किया जाता है?
* (अ) माध्यिका
* (ब) समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
* (स) बहुलक
* (द) हरात्मक माध्य
उत्तर: (ब)
व्याख्या: सूत्र (\sigma / \bar{x}) \times 100 में \bar{x} समांतर माध्य है।
प्रश्न 25: किसी भी श्रेणी के लिए प्रमाप विचलन का मान हमेशा कैसा होता है?
* (अ) ऋणात्मक
* (ब) धनात्मक (Always Positive)
* (स) शून्य
* (द) 1 से कम
उत्तर: (ब)
व्याख्या: चूंकि यह वर्गों का वर्गमूल है, इसलिए यह कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता।
प्रश्न 26: 'लॉरेंज वक्र' (Lorenz Curve) का उपयोग क्या मापने के लिए किया जाता है?
* (अ) माध्य
* (ब) आय और धन के वितरण की विषमता (Inequality in distribution)
* (स) केवल लाभ
* (द) केवल जनसंख्या
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह संचयी प्रतिशत वक्र है। वक्र 'समानता रेखा' (Line of Equal Distribution) से जितना दूर होगा, विषमता उतनी ही अधिक होगी।
प्रश्न 27: लॉरेंज वक्र में 45 डिग्री की रेखा क्या कहलाती है?
* (अ) विषमता रेखा
* (ब) पूर्ण समानता की रेखा (Line of Perfect Equality)
* (स) मांग रेखा
* (द) बजट रेखा
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यदि वक्र इस रेखा पर है, तो इसका अर्थ है कि आय का वितरण पूर्णतः समान है।
प्रश्न 28: प्रमाप विचलन और माध्य विचलन (माध्यिका से) के बीच क्या संबंध है?
* (अ) M.D. = 0.8 \sigma (या 4/5 \sigma)
* (ब) M.D. = \sigma
* (स) M.D. = 1.2 \sigma
* (द) M.D. = 0.67 \sigma
उत्तर: (अ)
व्याख्या: सामान्य बंटन में माध्य विचलन प्रमाप विचलन का 80% होता है।
प्रश्न 29: प्रमाप विचलन और चतुर्थक विचलन के बीच क्या संबंध है?
* (अ) Q.D. = 0.6745 \sigma (या 2/3 \sigma)
* (ब) Q.D. = \sigma
* (स) Q.D. = 1.5 \sigma
* (द) Q.D. = 0.5 \sigma
उत्तर: (अ)
व्याख्या: सामान्य बंटन में चतुर्थक विचलन प्रमाप विचलन का लगभग दो-तिहाई होता है।
प्रश्न 30: 'प्रमाप विचलन' का मान शून्य कब होता है?
* (अ) कभी नहीं
* (ब) जब श्रेणी के सभी पद समान हों (When all items are identical)
* (स) जब माध्य शून्य हो
* (द) जब पद बहुत बड़े हों
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यदि सभी पद 10, 10, 10 हैं, तो कोई बिखराव नहीं होगा और विचलन शून्य आएगा।
प्रश्न 31: 'सापेक्ष अपकिरण' (Relative Dispersion) को क्या कहा जाता है?
* (अ) विचरण
* (ब) अपकिरण का गुणांक (Coefficient of Dispersion)
* (स) माध्य
* (द) विस्तार
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह एक शुद्ध संख्या (Pure Number) होती है।
प्रश्न 32: 'विषमता' (Skewness) का अर्थ क्या है?
* (अ) बिखराव
* (ब) बंटन की समरूपता का अभाव (Lack of Symmetry)
* (स) केवल औसत
* (द) पदों का योग
उत्तर: (ब)
व्याख्या: विषमता यह बताती है कि डेटा किसी एक तरफ (दाएं या बाएं) कितना झुका हुआ है।
प्रश्न 33: यदि Mean = Median = Mode है, तो विषमता क्या होगी?
* (अ) धनात्मक
* (ब) ऋणात्मक
* (स) शून्य (Zero / Symmetrical Distribution)
* (द) अनंत
उत्तर: (स)
व्याख्या: पूर्णतः सममित (Symmetrical) बंटन में विषमता नहीं पाई जाती।
प्रश्न 34: धनात्मक विषमता (Positive Skewness) में पूँछ (Tail) किस ओर लंबी होती है?
* (अ) बाईं ओर
* (ब) दाईं ओर (Right side)
* (स) दोनों ओर बराबर
* (द) नीचे की ओर
उत्तर: (ब)
व्याख्या: इसमें Mean > Median > Mode होता है।
प्रश्न 35: ऋणात्मक विषमता (Negative Skewness) में सही क्रम क्या है?
* (अ) Mean > Median > Mode
* (ब) Mean < Median < Mode
* (स) Mean = Mode
* (द) कोई नहीं
उत्तर: (ब)
व्याख्या: इसमें पूँछ बाईं (Left) ओर लंबी होती है।
प्रश्न 36: कार्ल पियर्सन का 'विषमता गुणांक' (j) निकालने का मुख्य सूत्र क्या है?
* (अ) \frac{Mean - Mode}{\sigma}
* (ब) \frac{Mean - Median}{\sigma}
* (स) \frac{Q_3 - Q_1}{\sigma}
* (द) 3(Mean - Median)
उत्तर: (अ)
व्याख्या: यदि बहुलक अस्पष्ट हो, तो 3(Mean - Median) / \sigma का उपयोग किया जाता है।
प्रश्न 37: बाउले (Bowley) का विषमता गुणांक किन मूल्यों पर आधारित है?
* (अ) माध्य और बहुलक
* (ब) चतुर्थक (Quartiles)
* (स) केवल विस्तार
* (द) केवल प्रमाप विचलन
उत्तर: (ब)
व्याख्या: बाउले का सूत्र (Q_3 + Q_1 - 2 Median) / (Q_3 - Q_1) है।
प्रश्न 38: कार्ल पियर्सन के विषमता गुणांक की सीमाएं (Limits) क्या हैं?
* (अ) 0 से 1
* (ब) -1 से +1 (In practice)
* (स) -3 से +3 (Theoretical limit when using Median)
* (द) -100 से +100
उत्तर: (स)
व्याख्या: सैद्धांतिक रूप से यह -3 से +3 तक हो सकता है, लेकिन व्यवहार में -1 से +1 के बीच रहता है।
प्रश्न 39: 'पृथुशीर्षत्व' (Kurtosis) क्या मापता है?
* (अ) श्रेणी का झुकाव
* (ब) वक्र के शीर्ष का नुकीलापन या चपटापन (Peakedness or Flatness of the curve)
* (स) केवल औसत
* (द) श्रेणी का योग
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह वक्र की 'ऊंचाई' और 'आकृति' को दर्शाता है।
प्रश्न 40: यदि वक्र बहुत नुकीला है, तो उसे क्या कहा जाता है?
* (अ) मेसोकुर्टिक
* (ब) लेप्टोकुर्टिक (Leptokurtic)
* (स) प्लेटिकुर्टिक
* (द) सामान्य वक्र
उत्तर: (ब)
व्याख्या: इसमें \beta_2 > 3 होता है।
प्रश्न 41: सामान्य वक्र (Normal Curve) को क्या कहा जाता है?
* (अ) लेप्टोकुर्टिक
* (ब) मेसोकुर्टिक (Mesokurtic)
* (स) प्लेटिकुर्टिक
* (द) असामान्य वक्र
उत्तर: (ब)
व्याख्या: इसमें \beta_2 = 3 होता है।
प्रश्न 42: यदि वक्र बहुत चपटा (Flat) है, तो उसे क्या कहेंगे?
* (अ) लेप्टोकुर्टिक
* (ब) मेसोकुर्टिक
* (स) प्लेटिकुर्टिक (Platykurtic)
* (द) ऊँचा वक्र
उत्तर: (स)
व्याख्या: इसमें \beta_2 < 3 होता है।
[Image comparing Leptokurtic, Mesokurtic, and Platykurtic distributions based on their peakedness]
प्रश्न 43: 'प्रमाप विचलन' का वर्ग क्या कहलाता है? (पुनरावृत्ति)
* (अ) माध्य विचलन
* (ब) प्रसरण (Variance)
* (स) विस्तार
* (द) चतुर्थक विचलन
उत्तर: (ब)
व्याख्या: Variance = \sigma^2।
प्रश्न 44: 'खुले सिरे वाली श्रेणियों' में अपकिरण का कौन सा माप सबसे उपयुक्त है?
* (अ) विस्तार
* (ब) चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation)
* (स) प्रमाप विचलन
* (द) माध्य विचलन
उत्तर: (ब)
व्याख्या: चूंकि इसमें केवल Q_1 और Q_3 चाहिए, इसलिए सिरों के मूल्यों की आवश्यकता नहीं होती।
प्रश्न 50: यदि N=10, \sum X = 100 और \sum X^2 = 1020 है, तो प्रमाप विचलन क्या होगा?
* (अ) \sqrt{1020/10 - (100/10)^2} = \sqrt{102-100} = \sqrt{2} \approx 1.41
* (ब) 2
* (स) 10
* (द) 20
उत्तर: (अ)
व्याख्या: व्यक्तिगत श्रेणी में मूल मूल्य विधि का प्रयोग करके।
प्रश्न 60: विषमता का 'बाउले' गुणांक किस स्थिति में शून्य होगा?
* (अ) जब Q_3 + Q_1 = 2 Median
* (ब) जब Q_3 = Q_1
* (स) जब माध्य = 0
* (द) कभी नहीं
उत्तर: (अ)
व्याख्या: यह सममित वितरण की स्थिति है।
प्रश्न 70: 'प्रमाप विभ्रम' (Standard Error) का संबंध किससे है?
* (अ) गणना की गलती से
* (ब) प्रतिचयन (Sampling) के प्रमाप विचलन से
* (स) केवल जोड़-घटाव से
* (द) औसत की अशुद्धि से
उत्तर: (ब)
व्याख्या: यह सैंपलिंग थ्योरी का हिस्सा है जो अनुमान की शुद्धता बताता है।
प्रश्न 80: 'द राजस्थान एस्पिरेंट' के लिए अंतिम प्रश्न: अपकिरण का 'आदर्श माप' किसे माना जाता है?
* (अ) विस्तार
* (ब) माध्य विचलन
* (स) प्रमाप विचलन (Standard Deviation)
* (द) चतुर्थक विचलन
उत्तर: (स)
व्याख्या: अपनी उच्च गणितीय विशेषताओं और शुद्धता के कारण प्रमाप विचलन ही सर्वश्रेष्ठ माप है।